Математика

Задача ферма—торричелли—штейнера

История этой задачи насчитывает более трёх с половиной столетий. Она была помещена в книге итальянского физика и механика Вивиани «О максимальных и минимальных значениях» в 1659 году. Винченто Вивиани (1622—1703) был учеником великого Галилео Галилея. Нам он более известен как изобретатель ртутного барометра (прибора для измерения атмосферного давления), а своим современникам — как один из лучших специалистов по задачам на максимум и минимум, а также по теории конических сечений. Своё сочинение Вивиани, следуя традициям того времени, снабдил длинным названием: «Пятая книга сочинений Аполлония Пергского о конических сечениях, заключает в себе первые исследования о наибольших и наименьших величинах и признаётся самым замечательным памятником этого великого геометра» («De maximis et minimis geometrica divinatio in quintum conicorum Apollonii Pergoei nunc desideratum»). Среди множества задач на максимум и минимум, помещённых в этой книге, есть такая:

Максимумы и минимумы в геометрии

Аннотация

Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, прочитанной автором 21 февраля 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов.

Читатель познакомится с такими классическими задачами на максимум и минимум, как задача Фаньяно, задача о построении фигуры максимальной площади заданного периметра, задача Штейнера о кратчайшей системе дорог и многими другими. Одна из глав посвящена коническим сечениям и их фокальным свойствам. В брошюре излагаются решения перечисленных выше задач, особое внимание уделено проблеме доказательства существования решения в экстремальных задачах. В конце каждого раздела помещён набор задач для самостоятельного решения.

Задача фаньяно

В начале XVIII века итальянский инженер и математик Фаньяно деи Тоски (1682—1766) поставил следующую задачу:

10. Вписать в данный остроугольный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой стороне треугольника ABC лежала одна вершина треугольника.

Фокальное свойство коник

«Закон гиперболических зеркал таков: лучи света, падая на внутреннюю поверхность гиперболического зеркала, сходятся все в одной точке, в фокусе гиперболы. Это известно».

А. Н. Толстой, «Гиперболоид инженера Гарина».

Коникой, или коническим сечением, или квадрикой называется кривая, полученная в пересечении плоскости с конусом. Под конусом, как обычно, понимается прямой круговой конус: фигура, которая состоит из прямых, проходящих через данную точку А и образующих данный угол α<90° с прямой l, проходящей через точку А. При этом мы считаем, что конус образован именно прямыми, а не лучами или отрезками (как определяется в школьных учебниках). Эти прямые называются образующими конуса (поскольку именно они образуют конус), прямая l — его осью, а точка А — его вершиной. Таким образом, конус является неограниченной фигурой и состоит из двух половинок, центрально-симметричных относительно вершины А.

Вариационные методы

«По обе стороны от места наибольшего значения убывание вначале нечувствительно ».

Иоганн Кеплер

Итак, мы разобрали множество задач, и каждая из них имела своё элегантное геометрическое решение. На практике, увы, так получается далеко не всегда. Многие геометрические задачи на минимум и максимум либо вовсе не имеют геометрического решения, либо их геометрические решения существенно сложнее аналитических. Таково положение вещей, и относиться к нему можно по-разному. С одной стороны, это плохо. С другой стороны, это обстоятельство всегда заставляло математиков искать новые пути решения. В таких поисках к концу XVII века родилось и оформилось новое направление математики, вставшее вровень с алгеброй и геометрией — математический анализ. Именно задачам на максимум и минимум, наряду с задачами механики и оптики, математический анализ обязан своим появлением. Принцип решения многих экстремальных задач сводится к простому и вместе с тем универсальному факту:

<< [Первая] < [Предыдущая] 1 2 3 4 5 6 7 [Следующая] > [Последняя] >>

Результаты 26 - 50 из 166